Tauschen tauschen tauschen.
Tausch das ganze auto aus.
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Nein, ist nicht normal. Ist eher umgekehrt, der motor läuft nicht gescheit, weil die pumpe nicht gescheit läuft/liefert.
(Deine version wäre nur denkbar, wenn der motor so niedertourig dreht, dass bereits die bordspannung einbricht (aber selbst da bin ich nicht sicher, ob die batterie dort noch "aushelfen" würde.) Ggf, es gibt ein problem mit der lichtmaschiene, aber es wird mmn der fall beschrieben oben nach den sternchen sein.
Aber achtung, es muss nicht zwingend die pumpe selbst schuld sein.